Comprimento de uma senoide

Olá humano!

Parece ser um pouco off-topic mas além de não encontrar esta informação diretamente em buscas no google, achei interessante ter este dado de forma mais direta. Interessante também para mostrar para os estudantes de engenharia (qualquer que seja) a importância do calculo na nossa vida de engenheiro (ou hobbysta, ou inventor, etc…).

Na semana passada um colega de profissão estava comentando que gostaria de calcular o deslocamento de uma ferramenta (por exemplo em um centro de usinagem cnc) ao percorrer uma senoide.

Pois bem, nesse caso podemos (e até onde vejo, é nossa única saída) usar os conceitos do calculo para encontrar esta resposta. Para isso precisamos usar uma integral de linha.

Como não sou expert em matemática, e também não escrevo um blog desta matéria, resolvi somente mostrar o que precisamos para encontrar a nossa resposta. Neste caso, precisamos saber que ao calcularmos uma integral de linha de uma dada função, obtemos o comprimento da curva obtida através da função em questão. Se nossa integral for uma integral de linha definida (temos os limites de integração) obtemos o comprimento da curva entre os limites de integração.

Para facilitar a ideia, vou mostrar exemplos gráficos.

Abaixo temos uma representação gráfica do que queremos calcular. A pergunta é, se fosse uma linha reta, a curva destacada em azul teria qual comprimento?

y = sen(x)
Gráfico da função y=sen(x)

Agora que sabemos o que queremos calcular, podemos então definir a integral de linha:

Para tal definimos nossa função de interesse como sendo y = sen(x) , com isso podemos então definir o caminho g1, descrito por   Caminho G1  definido por:

Definição G1

O comprimento, l, que nos interessa, deste caminho é dado pela expressão:

Expressão Comprimento

Onde    Definição C

Como   Derivada de G1

Temos:    \left \| {g}'(s) \right \|=\sqrt{(1)^2+(cos(s))^2}=\sqrt{1+cos^2(s)}

portanto

Relação final

Por final chegamos a integral que quando resolvida nos fornece o valor do comprimento desta curva (seno) entre os pontos 0 e 2π:

Integral Final
Resposta

Uma vez que encontramos a integral que nos fornece a resposta, podemos usar algum software (ou calculadora) para resolve-la, principalmente neste caso onde a resolução da integral não é nada trivial. Se utilizarmos um software como o Maple ou o WolframAlpha (se não me engano existe ainda o Mathematica) obteremos como resposta o valor aproximado de 7.64.

Resultado
Resultado Final

Agora o mais bacana eu guardei pro final. Existe uma ferramenta gratuita disponível na internete, que entre outras coisas é capaz de nos fornecer estas informações de maneira bastante simples: WolframAlpha.

Neste website podemos encontrar o comprimento (length) de qualquer curva (ou arc), usando a expressão: tell me the length of the arc y=F from x=a to b , onde F é a função que nos interessa, a é o limite inferior e b o limite superior.

No caso da função que gostaríamos de encontrar no inicio o comando ficaria: tell me the length of the arc y=sin(x) from x=0 to 2*pi (veja aqui). No link, podemos ver que além da resposta, o site nos fornece a integral que origina a resposta, e uma indicação gráfica da função em questão, ressaltando o intervalo de interesse.

2 comentários sobre “Comprimento de uma senoide

  1. Cesar junho 15, 2014 at 7:14 pm

    Mario, parabéns !

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